Барлық электрондардың бірдей екенін қайдан білеміз? 2-бөлім

1-бөлімде мен Гиббс парадоксымен, XIX ғасырдың аяғындағы статистикалық механиканың парадоксымен таныстым, оның шешімі бөлшектер қандай да бір деңгейде бірдей және ажыратылмайтын болуы керек деген ұсыныс жасады. Бұл бірінші нұсқа болды, және кейбір адамдар мәселе туралы ойлады - бірақ бұл шын мәнінде соңғы сөз емес.

2-бөлімде физиктердің барлық элементар бөлшектердің (мысалы, электрон сияқты) кванттық механикаға енуімен бірдей екенін 20-ші ғасырдың алғашқы 3 онжылдығында табылған және дамып келе жатқан физика туралы түсініктерін толықтай аяқтаймын. ғасыр (1900-1930). 2-бөлімді 1-бөлімді оқымай-ақ толық оқып шығу керек; бөлшектердің неге бірдей болатындығымен байланысты болса да, екеуі де өздігінен болады және екіншісіне де тәуелді емес. 1-бөлім - бұл негізінен 1900 жж. Түсінуге болатын түсінік, ал 2-бөлім - 1930 ж. Түсінікті - кванттық механика аяқталғаннан кейін.

Классикалық статистикалық механикада сіз жүйенің күйін ықтималдықтар бойынша әртүрлі көрсете аласыз. Мысалы, егер сіз газдың температурасы мен қысымын білсеңіз, онда газды құрайтын әртүрлі бөлшектердің статистикалық таралуы болады («ықтималдық тығыздығы функциясы» деп аталады). Бұл бөлшектер кездейсоқ айналады. Жоғары температурада сіз жылдам қозғалатын газдың жеке молекуласын таба аласыз; төмен температурада сіз баяу қозғалатын газдың жеке молекуласын таба аласыз. Бірақ кез-келген жолмен барлық мүмкіндіктер бар.

Кванттық механикада да дәл солай, бірақ ол біршама күрделене түседі. Кванттық механикада ықтималдықтың тығыздығы функциясы «толқындық функция» деп аталатын күрделі функцияның көлемінің квадратымен берілген. Кешенді түрде мен нақты сандар функциясының орнына (х = 1, 2, 3.4, 9.8, т.б.) бұл күрделі сандар функциясы, олардың әрқайсысында нақты және қиял бөлігі бар (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, т.б.) Егер сіз бұған дейін мұндай жағдайды кездестірмеген болсаңыз, мен бұл өте қызықты болатынына сенімдімін. Бірақ бұдан басқасын айта алмаймын: кванттық механика осылай жұмыс істейді - бұл таңқаларлық!

Мысалы, егер электронның толқындық функциясы х позициясында 1 / √2 болса және y жағдайында 1 / √2 болса, онда сіз квадратта болған кезде сізде ықтималдылық пайда болады: оның х позициясында болу мүмкіндігі 1/2 және у-де оның мүмкіндігі де 1/2. Егер сіз оны екі жерден іздесеңіз, сізге 50/50 атыс бар.

Әзірге бұл классикалық механика үшін әлі де бірдей. Егер сіз қаласаңыз, классикалық физикадағы ықтималдық тығыздығының функциясын әр жерде өзінің квадрат түбірімен ғана көрсете аласыз және ештеңе өзгермейді. Айырмашылығы, кванттық механикада толқын функциясы психикалық абстракция сияқты аз әрекет етеді және нақты физикалық толқын сияқты, ол кедергі келтіруі мүмкін.

Қараңғы және ашық интерференциялық жиектер

Классикалық түрде ықтималдық толқындары бір-біріне кедергі жасамайды. Ықтималдылық әрдайым оң сан болып табылады, сондықтан егер газдың екі әр түрлі бөлшектерінің x орналасуында p ықтималдығы болса, онда олардың екеуін табу ықтималдығы 2p болады. Классикалық түрде әр түрлі оқиғалардың (немесе әртүрлі өлшеу нәтижелерінің пайда болуының) ықтималдығы әрқашан бір-біріне қосылады, ол ешқашан азаймайды.

Бірақ кванттық механикада бұл толқындық функцияның өзі (квадратынан гөрі) болып табылады. Әрбір нүктедегі толқындық функция кез-келген күрделі сан болуы мүмкін (оң немесе теріс нақты сандарды қосқанда), кейде әртүрлі мүмкіндіктерді біріктірген кезде ықтималдықтар қосылады, бірақ олар басқа уақыттарды алып тастайды! Субтракция кезінде - мысалы, екі түрлі оқиғаның ықтималдығы оны болдырмауға мүмкіндік бермеген жағдайда - бұл кванттық интерференция деп аталады.

Бізде 2 электрон бар делік және әр электронды табуға болатын екі орын бар, x немесе y орналасқан жер. Егер екі электронды ажыратуға болатын болса, онда біз оларды «электрон» және «B электроны» деп белгілей аламыз және бұл екі электронды жүйеде болуы мүмкін 4 күй бар дегенді білдіреді. А және В екеуі де x-де, екеуі де y-де, A-да x, B-де y-де, B-де x-те, A-де y-де. Қорытындылау үшін бізде AB = xx, yy, xy немесе yx. Кванттық механикада осындай күйлерді білдіретін жалпы белгі - бұрыштық жақшаларды қолдану: | xx>, | yy>, | xy>, | yx>.

Бірақ 1920 жылдардағы ғылыми зерттеулер таңқаларлық бір фактіні көрсетті: 2 электрондар жүйесі 4 түрлі күйде бола алмайды, оның болуы мүмкін бір ғана жағдайы бар!

Мұның бір себебін сіз болжай білуіңіз керек: егер А электронын В электронынан ажыратуға мүмкіндік болмаса, онда | xy> және | yx> күйлері бірдей. Бұл бірдей физикалық күйді бейнелеудің екі түрлі әдісі. Қалай болғанда да, х позициясында 1 электрон және y күйінде 1 электрон бар.

Бірақ бұл бізді 1 күймен емес, 3 күймен қалдырады - | xx> күйінің екі электроны да x күйінде, немесе | yy> екеуі де y күйінде болатынының қандай қатесі бар? Бірден көп электрон ешқашан бірдей күйді иелене алмайды. 1925 жылы Вольфганг Паули бұл принципті ұсынды - қазір Паули эксклюзивті принципі деп аталады - және 1940 жылы ол кванттық өріс теориясын қолдана отырып, ол тек электрондарға ғана емес, белгілі бір типтегі барлық бөлшектерге (жартылай бүтін сандар бар) қолданылатындығын дәлелдеді. спин - электрондарда спин бар / 1/2).

Вольфганг Паули

Бұл постта спиннің не екендігі туралы толық түсінік беру маған өте алыс тақырыпты қажет етеді (егер сіз көбірек білгіңіз келсе, сіз маған осы жерден Quora-да спин-1/2 туралы түсіндірмені оқып шығуға кеңес бересіз. маған кеше 100000-нан астам адамға хабарлама жіберілді). Бірақ барлық кванттық бөлшектер 2 санаттың 1-не түседі: фермиондар немесе бозондар. Фермиондарда жартылай бүтін спин бар және Паули шығарып тастау қағидасына бағынады, ал бозондарда бүтін сан айналады, ал жоқ.

Фермиондар көбінесе «материялық» қасиетке ие. Мысалы, электрондар, протондар мен нейтрондардың барлығы - спин-1,2 фермион. Олар материяның құрылыс материалы болып табылады (атомдар, молекулалар және т.б.) Сіз бір жерде немесе басқа материя бір уақытта бірдей кеңістікті ала алмайтынын естіген боларсыз. Бұл Паули эксклюзивті қағидасына байланысты (сонымен қатар әртүрлі атомдар арасындағы электростатикалық итерілу).

Босондар көбінесе «радиацияға ұқсас» қасиеттерге ие. Мысалы, фотондар - жарық және басқа электромагниттік сәулеленуге жауап беретін бөлшектер (радио толқындар, микротолқындар, WiFi, ультрафиолет, рентген, гамма-сәулелер және т.б.) - спин-1 бозоны. LHC-де 2012 жылы табылған Хиггс бозоны - спин-0 бозоны. Көптеген теориялық физиктер ауырлық күші гравитаон деп аталатын спин-2 бозоны арқылы делдал болады деп санайды, дегенмен бұл зертханада әлі анықталған жоқ.

Паули эксклюзивті қағидасы тек аксиомалық ереже ғана емес, бұл физиканың ең жақсы іргелі теорияларынан шығуға болатын қорытынды. Шын мәнінде, бұл Паулиден бас тарту принципін қорытынды ретінде шығару үшін Эйнштейннің кванттық механикамен біріктірілген арнайы салыстырмалылық теориясын қажет етеді. Айналдыру тәсілінің арқасында 2 бозонның толқындық функциясы әрқашан «симметриялы» болуға мәжбүр, ал 2 фермионның толқындық функциясы әрқашан «антисимметриялық» болуға мәжбүр.

Бұл тұрғыда симметрия дегеніміз, егер сіз екі бозонның орнын ауыстырсаңыз, онда ештеңе болмайды - сіз дәл сол күйге ораласыз. Антисимметриялық ұқсас дегенді білдіреді, бірақ онша емес: егер сіз екі бірдей фермионның орнын ауыстырсаңыз, сол күйге ораласыз, бірақ оның алдында минус белгісімен.

Кванттық механика «Гильберт кеңістігі» деп аталатын векторлық типте жасалады, онда сізде екі күй болған кезде, оларды «сызықты комбинацияға» қосу арқылы түзілетін басқа күй бар. Мысалы, егер | xy> және | yx> екеуі де Гильберт кеңістігінде орналасқан болса, онда | xy> + | yx> - сол Гильберт кеңістігіндегі мемлекет. | Xy> - | yx> немесе кез келген басқа сызықтық комбинация сияқты | 3 | xy> -2 | yx>. Кванттық механикада күйлерді біріктірудің бұл әдісі «суперпозиция» деп аталады. Белгілі бір жерде болудың немесе нақты басқа жерде болудың орнына, электронның бір жерде болу мүмкіндігі бар, ал басқа жерде болу мүмкіндігі бар.

Алайда, бұл күйлер кванттық толқындық функцияны білдіретіндіктен және мен жоғарыда кванттық толқындық функцияның ықтималдылықтың таралуы туралы айтқан болатынмын, күйлер кез-келген жерде орналасқан электронның жалпы ықтималдығы жоғарылайтындай етіп қалыпқа келтірілуі керек. 100% дейін (немесе 1). Сондықтан жоғарыдағы сызықтық комбинациялардағы коэффициенттер оларды қалыпқа келтіру үшін жалпы факторға бөлінуі керек.

Мұны фермионалдық толқындардың функциялары әрдайым антисимметриялық болуы керек деген талаппен біріктіре отырып, бұл 2 электронның жалғыз күйі болуы мүмкін дегенді білдіреді (егер олар үшін мүмкін болатын 2 орын бар болса) 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Немесе физикалық эквиваленті болатын кез-келген күрделі 1-ге тең санға көбейтілген.) Егер осыған x пен y-ны алмастырсақ, онда 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> алынады -1 есе бастапқы күйден. Математикалық жағынан бұл Гильберт кеңістігіндегі басқа күй, бірақ физикалық тұрғыдан алғанда дәл солай мағына береді. Егер сіз 1 / √2 коэффициенттерін квадраттарға бөлетін болсақ, онда А электронының x деңгейге, ал B электроны y-ге, ал B электроны x-ге, ал А-ға электронды болса, 1/2 мүмкіндігі бар екендігі туралы айтады. у-де. 50/50

Біз жасадық: физикалық тұрғыдан ажыратылмайтын екі жағдайды - | xy> және | yx> алдық және олардың фермиондарға қажет антисимметриялық қасиеті бар суперпозициясын құрдық. | Xx> және | yy> күйлері туралы не айтуға болады? Оларды ешқашан антисимметриялы ету мүмкін емес, өйткені x-ті x-ке, y-мен y-ге ауыстыру ештеңені өзгертпейді. Олар ішкі симметриялы күйлер болғандықтан, олар фермиондар үшін өмір сүре алмайды - олар тек бозондарға қолданылады.

Білуіңіз мүмкін, бұл бозондарда жай 1-ге емес, 3 мүмкін күйге ие болуы мүмкін, яғни x немесе y орналасуы мүмкін болатын 2 фотон үшін, олар болуы мүмкін үш түрлі күй | xx> , | yy>, немесе 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - бәрі x және y-ны алмастырған кезде өте жақсы симметриялы. (Минус белгісі жоқ.)

Қорытындылай келе, екі түрлі жерде болуы мүмкін бөлшектер жұпының 4 мүмкін күйі болуы мүмкін. Ал фермиондар жұбының 1 мүмкін күйі бар, ал жұп бозондарда 3 мүмкін күй бар. Бұл фермиондар мен бозондар үшін әртүрлі статистикалық мінез-құлыққа әкеледі және бөлшектердің 2 түрінің көптеген қасиеттері неге әртүрлі болатындығын түсіндіреді.

Менің бұрынғы жұмысымда Макс Планктың 1800 жылдардың аяғында энтропияны зерттеуі кванттық механиканың алғашқы ашылуына қалай әкелгені туралы айттым. Осы уақыт аралығында біршама уақыт бұрын болған үлкен түсінік пайда болды - Максвелл мен Больцманның термодинамиканың нұсқасы (кейіннен статистикалық механика деп аталды) туралы белгілі жұмбақ. Жабдық заңын қолдана отырып, классикалық термодинамика төмен температурадағы көптеген газдардың жылу қабілетін дұрыс емес деп болжады.

«Жылу сыйымдылығы» дегеніміз - температураны белгіленген мөлшерге көтергенге дейін сіңірілетін жылу мөлшері (әдетте, Цельсий бойынша 1 градус). Кейбір газдар температураны көтерместен көп жылу (жылу энергиясы) сіңіре алады. Өзгелер үшін термометрді аз мөлшерде қыздыру әсер етеді. Максвелл мен Больцманның пікірі бойынша, кейбір газдар жылу энергиясын басқаларға қарағанда сіңірген және сақтаған жақсы, өйткені олардың ішкі еркіндік дәрежелері көп - бұл «еркіндік дәрежелері» контейнерлер ретінде тиімді қызмет етеді. энергияны сақтауға болады. Эквиваленттік теорема (Максвелл ұсынған, содан кейін Больцман негізінен дәлелдеген) тепе-теңдікте әр газдың (немесе сұйық немесе қатты) жалпы ішкі энергиясы 1/2 НкТ болатынын айтады. Мұндағы N - сол газдағы еркіндік дәрежелерінің саны, T - сол газдың температурасы, k - тек Больцман тұрақтысы. Басқаша айтқанда, еркіндік дәрежесінде газдың 1/2 кТ жылу энергиясы болады.

Мысалы, егер бізде монатомды сутегі бар газ болса (монатомиялық дегеніміз - әр молекула бір атом), әр атомда 3 дәрежеде еркіндік бар, өйткені ол үш бағыттың біреуінде қозғалады: жоғары немесе төмен, солға немесе оңға, артқа және бағыттар (біз 3 өлшемді кеңістікте өмір сүретіндіктен, 3 бағыт). Жылу энергиясын осы 3 тәуелсіз бағыттың кез-келгеніне кинетикалық энергиясын көбейту арқылы сутегі атомы сіңіре алады.

Кескін несиесі: astarmathsandphysics.com

Екінші жағынан, егер бізде диатомды сутегі молекулаларының газы болса (диатомиялық дегеніміз - әр молекула химиялық байланыс арқылы байланысқан 2 атомнан тұрады), онда еркіндіктің көбірек дәрежелері болады (газдың әр молекуласы қозғалатын тәсілдер) . 3 өлшемнің кез-келгенінде сызықты қозғалу еркіндігімен қатар, екі түрлі осьтің екеуінің бойымен айналу еркіндігі де бар.

Әлемдегі заттың 75% -ы - монатомды сутегі болса да, жер бетіндегі сутектің көп бөлігі диатомды сутегі болып табылады. Себебі, сутегі өте жоғары температурада және жұлдыздарда (мысалы, күн тәрізді) болатын кезде ғана монатомды болады. Жер бетіне жақын температураның диапазонында сутегі табиғи түрде өзінің диатомалық фазасына қосылады. Бірақ 1800 жылдары қызық болып көрінген нәрсе, дәл температураға байланысты, сутегі диатомдылығы әртүрлі жылу сыйымдылықтарына ие болуы мүмкін.

Кескін несиесі: гиперфизика

Бөлме температурасында сутегі 5/2 к-ге жақын бір молекуланың жылу сыйымдылығына ие (немесе егер бір молекуланың орнына бір мең болса, бұл сызбада көрсетілгендей 5/2 R деп жазылады). Максвелл мен Больцманның термодинамикаға деген көзқарасы бойынша, бұл 5 дәрежелік еркіндікті білдіреді (іс жүзінде 7, егер сіз тербелістерге тағы да 2 еркіндік қоссаңыз). Бірақ бөлме температурасындағы дәл мән шамамен 2.47k құрайды. Газ 0 Цельсийден (273К) дейін салқындаған кезде, ол біртіндеп 2,47 км-ден төмендеп, ақыр соңында 1,5 к-ге жетеді. Бірақ 3/2 к оның тек 3 градус бостандыққа ие екенін білдіреді - басқаша айтқанда, бұл монатомды газ! Неліктен сутегі төмен температурада монатомды газға айналады? 3 пен 5 градус арасындағы еркіндіктің мәні болуы нені білдіреді? Жылу сыйымдылығы температурадан тәуелсіз болуы керек. Оттегі мен азот газының өлшенген жылу сыйымдылығымен ұқсас проблемалар туындады.

Бұл жұмбаққа 1800 жылдары көптеген ұсынылған түсініктемелер болды, бірақ кванттық механиканың дамуына дейін ешкім толық жауапты түсінбеді. Толық жауап мынада: молекулаларда айналу еркіндігінің дәрежесін қоздыруға болатын жолдар квантталады. Классикалық түрде, бір нәрсе қаншалықты баяу болса да, кез келген жылдамдықта айнала алады - сондықтан энергияның кез-келген мөлшері, қаншалықты аз болса да, айналдыруға кіріседі. Бірақ кванттық механикада бұрыштық импульс мөлшерленеді, сондықтан айналу тек белгілі бір дискретті өсулерде ғана жүреді. Не молекула тез айнала бастайды, не мүлдем жоқ - арасында ешқандай байланыс жоқ. Осыған байланысты, төмен температурада молекулалардың кездейсоқ соқтығысуы арасында алмасатын энергияның орташа мөлшері осы еркіндік дәрежесін қоздыруға тым аз. Төмен температурада, сутегі газы әлі де диатомды, бірақ 3 еркіндік дәрежесі - қоздыруға болатын жалғыз нәрсе - молекулалардың айналуын бастау үшін энергия жеткіліксіз. Температура белгілі бір деңгейден көтерілгенде, соқтығысуға қатысатын әдеттегі энергия айналуды қоздыруға жеткілікті болады. Температура неғұрлым жоғары болса, айналу тудыратын жеткілікті жоғары энергия алу мүмкіндігі соғұрлым жоғары болады; сондықтан жылу сыйымдылығы біртіндеп 5 градус еркіндігі бар молекулалардан тұратын нәрсе үшін күткен деңгейге дейін көтеріледі. Егер сіз температураны одан әрі көтере берсеңіз, ақыр соңында ол тербелісті қоздыратындай ыстық болады (атомдар арасындағы байланыс серіппелі, созылып, қысылып тұрған тәрізді) деп санаңыз, ол да есептелді. Өте ыстық температурада диатомды газдарда 7 еркіндік дәрежесі болады, бұл сіз кез-келген температурада классикалық болды деп ойладыңыз. Кванттық механика оттегі мен азоттың жылу сыйымдылығына ұқсас түсінік береді.

Эйнштейн 1906 жылы кванттау Максвелл мен Больцман заңдарының тепе-теңдік заңы мен диатомдық газдардың белгілі бір қызуының эксперименттік өлшенген қисықтары арасындағы осы айқын қайшылықты шеше алады деп ұсынды. Оның болжамын 1910 жылы Нернст дәлелдеді, ол әртүрлі газдардың қызуын нақты дәлдікпен өлшеді және Эйнштейннің теориялық болжамдарымен келіскенін анықтады. Бұл ерте кванттық механиканың алғашқы эксперименттік сынақтарының бірі болды және өтті!

Бірақ бірдей бөлшектерге оралсақ, газдардың кванттық механикалық теориясы 1800 жылдардағы газдардың ескі классикалық теориясынан айтарлықтай ерекшеленетін тағы бір жол бар.

Егер газдың жекелеген бөлшектерін бөліп көрсетуге болатын болса, онда сіз газды абсолютті нөлге дейін салқындаған кезде, олар жердегі жағдайға түседі - қай күйде энергия аз болады. Әдетте, сіз жердің күйін әр бөлшек толығымен тынығатын жерде деп ойлайсыз және кинетикалық энергия, айналу энергиясы немесе басқа қозғалыс түрі немесе ішкі энергия жоқ.

Бірақ фермиондар үшін олардың бөлінбеуі Паули эксклюзивті қағидасына әкеледі, ол бірнеше бірдей бөлшектердің бір күйге түсуіне жол бермейді. Сондықтан олардың барлығы бірдей күйде бола алмайды. Көбінесе бөлшектер алатын энергия деңгейлері баспалдақ диаграммасымен ұсынылған, мұнда әрбір энергия деңгейі баспалдақтың басқа шеңбері болып табылады. Әдетте «азып кету» де болады, мұнда бірнеше күйлер бірдей энергияға ие болады - бұл жағдайда олар дегенерацияның (бірнеше күйлердің) болуын қадағалап отыратын болсақ, оларды баспалдақпен бірдей шеңбер түрінде көрсетуге болады. қоңырау.

Фермион газы (Fermi газы деп те аталады) абсолютті нөлге дейін салқындаған кезде не болады, берілген энергияның әр күйі толып, жер күйінен басталып, барлық бөлшектер қосылғанға дейін баспалдақпен қозғалады. газ есептеледі және айналымы бар. Тағы да, дегенерацияға байланысты, бірнеше бөлшек бір шеңберде болуы мүмкін. Егер бөлшектердің жалпы санымен салыстырғанда азаятын болса, бұл көптеген айналымдар толатынын білдіреді. Барлық шеңберлерді бөлшектермен толтырғаннан кейін ең жоғары қуат деңгейі «Ферми энергиясы» деп аталады.

Сол жылы 1910 жылы Нернст диатомды газдар үшін жылу сыйымдылығының кванттық теориясын растады, астрономдар жұлдыздардың жаңа түрін тапты. 1922 жылға қарай ол «ақ гном» деп аталды, бірақ 1910 жылы астрономдар оның қарапайым жұлдыздардан ерекшеленетінін және біршама оғаш қасиеттерге ие екенін байқады. Мұндай жұлдыз туралы таңқаларлық нәрсе, ол классикалық физика үшін оның қалай жарқырай алатындығын түсіндіре алмайтындай тығыз болып көрінді.

Sirius B (ең кішкентай нүкте) - ең жақын ақ ергежейлі жұлдыз

Ақ ергежейдің массасы Күн массасына ұқсас, бірақ сол масса барлық жерде, әдетте, Жердің көлемімен бірдей кішкентай шарға оралған. Күнді Жерден шамамен 333 000 есе үлкен масштабта қарастырсақ, бұл өте тығыз материя түрін білдіреді. Ол кезде физиктер бұрын-соңды көрген немесе естіген нәрселерден әлдеқайда тығыз болды, тіпті жұлдыздар қатты зат емес, иондардың (сонымен қатар плазма деп аталатын) газдарын жағып тұруы керек еді. Егер бұл өте тығыз қатты зат болса, онда неге ол жарқырамайды?

Бұл шынымен қатты емес, плазма екені белгілі болды. Бірақ бұл шынымен тығыз болды. Газдардың қандай да бір классикалық теориясы газдың қалайша тығыз бола алатындығын және өзінің ауырлық күшіне байланысты жай ғана құлап кетпейтіндігін түсіндіре алмайды. 1926 жылы Р.Х. Фаулер кванттық механика математикасын қолдана отырып, ақ ергежейлер классикалық газдардан гөрі Ферми газдары екенін дұрыс түсіндірді.

Басқаша айтқанда, ақ гном - бұл бірдей фермиондардың газы. Атап айтқанда, бұл электрондардың газы. Жоғары температура мен төмен қысым кезінде электрондардың газы қарапайым классикалық газдан өзгеше әрекет етеді. Жеке электрондардың бірдей болатыны маңызды емес, өйткені электрондарға қарағанда көп күйлер бар. Олардың ішінде қозғалудың үлкен көлемі және температура жеткілікті жоғары болғандықтан, қозғалудың әртүрлі түрлері бар. Бірақ сол газды жеткілікті суытыңыз немесе қысымды көтеріңіз, ол аз мөлшерде жиналады, содан кейін электрондар сол күйге түсе бастайды. Паулиден бас тарту принципіне байланысты олар дәл сол күйге өте алмайтын жағдайларды қоспағанда. Сондықтан олар жай күйлерді Fermi энергиясына дейін толтырады және тоқтайды.

Егер олар бөлшектелген бөлшектер болса, онда олардың бәрі бірдей күйге түсуі керек еді және энергия мәні нөлге тең болады - жер күйінде қозғалыс болмайды. Бірақ олар фермиондар болғандықтан, олардың бір күйге түсуіне жол бермейтін және ауырлық күші әсерінен бүкіл заттардың құлауына жол бермейтін «дегенерация қысымы» бар. Фермиондардың бұл жағдайда қалай жүретіні туралы статистика «Ферми-Дирак статистикасы» деп аталады, олар тек жоғары температура мен төмен қысым жағдайында классикалық «Максвелл-Больцман статистикасына» ұқсас болады. Осы контексте статистика температураның функциясы ретінде әр бөлшектің тепе-теңдік кезінде берілген энергияға ие болу ықтималдығы туралы айтады. Немесе оны айтудың тағы бір тәсілі: тепе-теңдікке жеткеннен кейін жүйе үшін энергияның әр деңгейінде болатын бөлшектердің күтілетін саны қанша?

Максвелл-Больцман статистикасын бөлшектер комбинаториканы қолдана отырып, қанша түрлі ерекше күйге ие болатынын санап, содан кейін күйлердің осы таралуы максималды деңгейге жететінін анықтай аласыз (сонымен бірге максималды энтропияны, ака тепе-теңдігін). Төмен энергия үшін, дегенерация төменірек, сондықтан ондай жағдай аз. Бірақ егер жеке бөлшектің энергиясы тым жоғары болса, онда ол мүмкін болатын қосылыстардың аз болуына байланысты қалған бөлшектер арасында бөлінетін энергия мөлшерін азайтады. Сонымен, тепе-теңдік, тепе-теңдік шарты болады, мұнда бүкіл жүйе максималды энтропия жағдайында, берілген энергия күйлері N_i = K_i / e ^ (E_i-mµ) / (kT)) бөлшектердің күтілетін санымен толтырылады. K_i - бұл дегенерация; бұл берілген энергия деңгейінде қанша күй бар екенін білдіреді E_i. E ^ (- E_i / kT) коэффициенті (мұндағы k - Больцман тұрақтысы және T температурасы) «Больцман факторы» ретінде белгілі. Больцман факторы дегеніміз, біз энергия деңгейінің баспалдағын көтерген сайын, әр шеңбердегі бөлшектер саны азаяды және азаяды (дегенмен, олар үшін кеңістік көбірек болса да). Бірақ температура экспоненциалды қаншалықты жылдам түсетінін бақылайды. E ^ (E_i-mµ) / (kT) грекше символы «химиялық потенциал» деп аталады және қазіргі уақытта маңызды емес, бірақ егер оған қосымша бөлшек қосылса, жүйенің жалпы энергиясы қаншаға көбейетінін білдіреді. . (Көптеген жүйелерде мк 0 немесе шамамен 0 болады, сондықтан ол жиі қосылмайды).

Егер газ сирек болса, біз бірдей күйді алатын екі түрлі бөлшек туралы алаңдамаймыз (барлық күйлерде N_i 1-ден аз болады), сол туынды фермиондар мен бозондар үшін жақсы жұмыс істейді - бұл маңызды емес, екеуі де бірдей Максвелл-Больцман статистикасына әкеледі. Алайда, егер сіз газ өте тығыз немесе жеткілікті төмен температурада болатын жағдайды қарастыратын болсаңыз, кенеттен бөлшектер фермиондар немесе бозондар ма екендігі өте маңызды (немесе олар табиғатта болмайды, бірақ оларды елестету мүмкін емес). . Фермиондар үшін күйлерді санап, олардың максимумын тапқаннан кейін энергияның әр деңгейін алатын бөлшектердің күтілетін саны - N_i = 1 / (e ^ ((E_i-mµ) / (kT)) + 1) - осылай аталады. Ферми-Дирак статистикасы. Ақ ергежейлі жұлдыздардағы тығыздықтың жоғары деңгейі үшін немесе басқа Ферми газдарындағы төмен температура жағдайында химиялық потенциалы µ маңызды болады және ол бұрын Fermi энергиясымен бірдей болады (және нөлдік температура үшін дәл солай). Максвелл-Больцман статистикасы мен Ферми-Дирак статистикасының жалғыз айырмашылығы - Ферми-Дирак формуласындағы «+1». Бұл шамалы айырмашылық, бірақ бұл заттың әрекет ету жолына соншалықты әсер етеді!

Бозондар туралы не деуге болады? Олар Паули эксклюзивті қағидасына бағынбайды, сондықтан бозон газы қарапайым классикалық газдан өзгеше болып көрінбейтін шығар? Жоқ, бозондарда «Бозе-Эйнштейн статистикасы» деп аталатын статистикалық мәліметтер жиынтығы бар, олар Максвелл-Больцман және Ферми-Дирак статистикасынан өзгеше.

Паули эксклюзивті қағидасына бағынбаса да, бірдей бозондар әлі де ерекшеленетін бөлшектерден ерекшеленеді, өйткені комбинаторика әр түрлі. Гильберт кеңістігінде кванттық күйлерді талқылайтын кезіміз есіңізде ме? Бір-біріне ұқсас екі бозонның әрқайсысында тек екі қол жетімді күйде, біз оларды айыру мүмкін болған кезде күткен 4-тің орнына үш мүмкін күйде болатындығын көрдік. Бұл жалпылау, K күйі бар N бірдей бозондардың жиынтығы үшін «N таңдаңыз K-1» = (N + K-1)! / N! / (K-1)! ерекшеленетін бөлшектерге арналған K ^ N орнына олар әртүрлі болуы мүмкін. (Әрине,! Белгілері 1-бөлімдегі математикалық факторлық белгілер болып табылады.) N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Қуаттың әр деңгейіне K_i мөлшерінің әр түрлі болуына мүмкіндік бере отырып, формуланы көптеген факторлардың көбейтіндісіне көбейту керек (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (жоғарыдағыдай, энергияның әр түрлі деңгейлерін ажырату үшін олардың астындағы жазулармен бірге E_i). Осы өрнектің максималды мәнін табу үшін есептеуді қолданғаннан кейін алынған тепе-теңдік күйін N_i = K_i / (e ^ ((E_i-mµ) / (kT)) - 1) бөлшектері болатын энергияның әр деңгейінде болатындай анықтауға болады. E_i. Бұл - Бозе-Эйнштейн статистикасының формуласы. Байқаңыз, Ферми-Дирак формуласының бір-бірінен айырмашылығы - қазір +1 - 1! Бұл олардың үшеуін есте сақтауды жеңілдетеді. Әдетте бозондарға арналған мк 0 болса, оларды оңай құруға немесе жоюға болады - мысалы, фотон саны біздің ғаламда сақталмайды, сондықтан олар қажет болған кезде пайда болып, жоғалып кетуі мүмкін.

Эйнштейн-Босе статистикасының формуласын Ферми-Дирак статистикасы табылып, ақ карликтерге қолданардан бір-екі жыл бұрын үнді физигі Сатиендра Нат Нате ашты. Оның қалай пайда болғандығы туралы әңгіме қызықты. Ол 1924 жылы Британдық Үндістанда (қазіргі Бангладеш деп аталатын жерде) «ультракүлгін апат» туралы дәріс оқыды. Ультрафиолет апаты - ХХ ғасырдың басында, ешкім білмеген Планктың қара түсті сәулеленудің формуласын статистикалық механикадан қалай толық алу керектігін білетін проблема. Бұл мен әлі күнге дейін менің Орталығымдағы ең танымал шығарма (әңгіме). Планктың энтропияны зерттей отырып кванттық механикаға қалай құлдырағаны туралы).

Планк энергияны қандай да бір шамада санау керек деп дұрыс айтқан, бірақ ол алғашқы діңгектерден бастап таза таза туындыны ойлап таба алмады, оның ішіндегі тербелмелі режимдер туралы кейбір арнайы жоспарларды қоспағанда. пештер. Босе аудиторияға күйлер мен энергия деңгейлерінің негізгі комбинаторикасынан бастап дұрыс емес формуламен аяқталатындығын көрсету процесін өткізді. Мұның сыртында біртүрлі ғажайып пайда болды - ол өзін және барлығын таңқаларлық түрде кездейсоқ дұрыс формуламен аяқтады. Ол жасаған ісіне қайта қарап, қате жібергенін түсінді - санаған күйлерін «дұрыс емес» санағанда. Ол кездейсоқ фотондарды бұрын болжанғандай айырбасталудың орнына бірдей және бір-біріне ұқсайтын етіп өңдеді. Осы туралы көп ойланған соң, ол бір нәрсені ұстанғанын түсінді - мүмкін бұл қате емес. Ол бұл туралы тағы кімге айту керектігін білмеді, сондықтан Альберт Эйнштейнге хат жазуды жөн көрді. Эйнштейн бірден қатты толқып, оған қағаз шығаруға көмектесті.

Satyendra Nath Bose

Сонымен Планк формуласын шығарудың алғашқы кілті фотон деп аталатын энергияның жекелеген пакеттеріне жарықтың түсуі болды. Екінші үлкен кілт - бұл фотондарда жеке сәйкестендіру болмады. Кейбіреулеріне қарағанда басқалары әртүрлі энергия мен импульске ие, барлығы бірдей. Түсіністікпен қарау Больцман мен Гиббстің статистикалық механика бойынша бұрын жасаған жұмыстарының мағынасын арттырды. N факторы болған! Максвелл-Больцманның үлестірімі дұрыс жұмыс істеуі үшін және энтропияның көлеммен дұрыс өлшенгеніне көз жеткізу үшін теңдеулерге қосылыңыз. Гиббс мұның бөлшектерді бір-бірін алмастыратындай өңдеумен байланысты екенін білді, бірақ ешкім бұған мән бермеді немесе оны шынымен қабылдаған жоқ. Бозаға дейін, бәрібір, бәрібір, бөлшектер бір-бірінен қандай-да бір деңгейде, кем дегенде, принцип бойынша ажыратылатын болады деп ойлаған.

Бангладештегі Бозе кезіндегі қателігі бүкіл физика әлеміне кванттық бөлшектердің әрқайсысының өзіндік ерекшелігі бар екендігі үшін тырнақты табытқа салуға мүмкіндік берді. Егер олар болған болса, онда бұдан да көп жағдай болған болар еді және бізде әлі де ультрафиолет апаты болады - ерекшеленетін фотондардың термодинамикасы ешқашан 1800 жылдардың аяғынан бастап қара түсті пештерде байқалатын қара түсті радиацияны қалпына келтіре алмас еді. Күн не басқа жарық көздері неге энергияның шексіз мөлшерін шығармайтынын түсіндіре алмаймыз.

Бұл менің достарым - барлық электрондардың бірдей екенін білгеніміздің тарихы!

Егер сіз осы ақпаратты тапсаңыз, шапалақтау түймесін басыңыз, рахмет :-)